MECANICA DE MATERIALES

lunes, 28 de noviembre de 2011

4 - FLEXIÓN

4.1 DIAGRAMA DE CORTANTE Y MOVIMIENTO FLEXIONANTE EN VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Las vigas al formar parte de sistemas estructurales como son los pórticos, los puentes y otros, se encuentran sometidas a cargas externas que producen en ellas solicitaciones de flexión, cortante y en algunos casos torsión.

A continuación se analizan en este capítulo los esfuerzos y deformaciones que se producen sobre una viga cuando esta se encuentra en flexión pura, biaxial o asimétrica. Así mismo se analizan los esfuerzos y deformaciones causados cuando se presenta simultáneamente flexión y cortante

Seguidamente se estudiaran los elementos prismáticos sometidos a pares iguales y opuestos M y M¢ que actúan en el mismo plano longitudinal. Para demostrar que elementos están sometidos a flexión pura.

A demás se examinaran los esfuerzos y deformaciones que existen en los elementos homogéneos que poseen un plano de simetría. Después de establecer que las secciones transversales permanecen planas durante las deformaciones por flexión, se desarrollan ecuaciones para determinar los esfuerzos normales y los radios de curvatura en elementos sometidos a flexión pura dentro del rango elástico.

Por otra parte superpondremos los esfuerzos debidos a flexión pura y los debidos a carga céntrica para analizar casos de carga excéntrica.

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR FLEXIÓN:

Los momentos flectores son causados por la aplicación de cargas normales al eje longitudinal del elemento haciendo que el miembro se flexione. Dependiendo del plano sobre el que actúen las fuerzas, de su inclinación con respecto al eje longitudinal y de su ubicación con respecto al centro de cortante de la sección transversal del elemento, se puede producir sobre este flexión simple, flexión pura, flexión biaxial o flexión asimétrica.

FLEXIÓN PURA:

La flexión pura se refiere a la flexión de un elemento bajo la acción de un momentoflexionante constante. Cuando un elemento se encuentra sometido a flexión pura, los esfuerzos cortantes sobre él son cero. Un ejemplo de un elemento sometido a flexión pura lo constituye la parte de la viga entre las dos cargas puntuales P.

El diagrama de cortantes (V) ilustra que en la parte central de la viga no existen fuerzas cortantes ya que está sometida únicamente a un momento constante igual a P.d . Las partes de longitud d no se encuentran en flexión pura puesto que el momento no es constante y existen fuerzas cortantes.

Para poder determinar los esfuerzos producidos en un elemento sometido a flexión, es necesario realizar primero un estudio de las deformaciones normales producidas sobre la sección transversal del elemento.

FLEXIÓN SIMPLE:

En la vida práctica son pocos los elementos que se encuentran sometidos a flexión pura. Por lo general los miembros se encuentran en flexión no uniforme lo que indica que se presentan de forma simultanea momentos flectores y fuerzas cortantes. Por lo tanto se hace necesario saber que sucede con los esfuerzos y las deformaciones cuando se encuentran en esta situación. Para ello se deben conocer las fuerzas internas que actúan sobre los elementos determinándolas para la obtención de los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes que actúan sobre un elemento dado.

FLEXIÓN BIAXIAL:

La flexión biaxial se presenta cuando un elemento es sometido a cargas que actúan sobre direcciones que son oblicuas a los ejes de simetría de su sección transversal. Un ejemplo lo constituye la viga en voladizo de la siguiente figura sometida a la acción de una carga P, cuya dirección es oblicua a los ejes de simetría.

Sobre esta, se presentan además de los momentos flectores, fuerzas cortantes.

Para analizar los esfuerzos causados por flexión se descompone la fuerza P en cada uno de los ejes de simetría de la sección transversal para realizar un análisis de flexión por separado para cada dirección y luego superponerlos para determinar los esfuerzos y deflexiones totales.

4.2 ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN VIGAS

Por otra parte superpondremos los esfuerzos debidos a flexión pura y los debidos a carga céntrica para analizar casos de carga excéntrica.

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR FLEXIÓN:

FLEXIÓN PURA:

FLEXIÓN SIMPLE:

FLEXIÓN BIAXIAL:

Sobre esta, se presentan además de los momentos flectores, fuerzas cortantes.

Information Upload by: http://www.angelfire.com/co4/flexiondcm/

4.3 DEFLEXIÓN DE VIGAS

En análisis estructural, se considera a las deflexiones, como la respuesta estructural, por que expresa, un momento de parámetros, que responde, a una acción de cargas aplicadas (muertas, sismos, etc.), las deflexiones son en cantidades no visibles. Las deflexiones, en estructuras, se pueden estimar, mediante métodos de cálculo, que se hará mención de los más conocidos.

• Método de trabajo real: Este método utiliza el principio de conservación de energía, que genera el trabajo externo, el cual debe ser igual al trabajo interno de deformación producto por los esfuerzos causadas por las cargas. La desventaja del método radica en su limitación, por que solo analiza una incógnita, no se amplía este método a más de un desplazamiento o rotación.

• Método de Castigliano: Este método es el Teorema de Castigliano, que, es la derivada parcial del trabajo de la deformación elástica, expresada en función de la fuerza; es igual al desplazamiento de su punto de paliación y sentido de las fuerzas.

• Método de trabajo virtual: Este método es el más versátil de los métodos tradicionales, para evaluar deflexiones elásticas de estructuras. Este método solo es aplicable a aquellos casos, en donde esta permitido la superposición, por su forma finita de análisis.

• Método de la doble integración: Este método permite ver, la ecuación de curvatura de la viga, la cual resulta del análisis de la ecuación diferencial de la línea elástica de una viga a flexión pura. La primera integración de la ecuación da la pendiente de la elástica en cualquier punto; la segunda integración se obtiene la ecuación de la elástica misma.

• Método de área de momentos: Este método, se basa en dos teoremas, que resultan muy útiles, para el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas y pórticos.

• Método de la viga conjugada: Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.

4.4 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

DEFINICIÓN:

Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes superan al número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es: el número de incógnitas es mayor que:

La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple “A” y el otro empotrado “B” bajo una carga puntual P.

A continuación se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte “A” existe sólo reacción vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en “B” hay dos reacciones dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.

Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes V_A y V_B y el momento flexionante M_B y sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio; ÓM y ÓF_y, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay más incógnitas que ecuaciones).

Otro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2.

Este caso corresponde a una barra mucho más compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en “A”.

Para la solución de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio estático, un camino a seguir consiste en hacer el análisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. Este análisis se plantea más adelante.

INDETERMINACIÓN ESTATICA:

Se define como el número de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. Se puede decir que es la diferencia entre el número de incógnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio estático. Por ejemplo la viga de la figura 1 tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1:

Número de incógnitas = NI = 3

Ecuaciones de equilibrio = EE = 2

Grado de indeterminación = GI = NI – EE = 3 – 2 = 1

Viga de la figura 2:

NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5

EE = Equil. vertical y suma de momentos = 2

GI = 5 – 2 = 3

En ambos casos los GI representan el número de ecuaciones adicionales para su solución.

SOLUCION DE VIGAS HIPERESTATICAS:

Se analizan vigas estáticamente indetermindas con objeto de conocer las reacciones externas e internas en los soportes, así como las deformaciones angulares y lineales que ocuren a través de su longitud cuando se les somete a carga axterna. Las deformaciones angulares son las rotaciones o pendientes que se miden mediante una tangente trazada a la curva elástica (Diagrama de deformación) y las lineales son los desplazamientos verticales que se miden entre el eje original de la viga y el eje cuando la barra se flexiona. La figura 3 muestra esta condición.

P = Carga aplicada.

æ = Rotación o pendiente.

ä = Deformación lineal o flecha.

Bibliografia:

Resistencia de Materiales.

William F. Smith.

Ed. Mc Graw Hill.

5 - ESFUERZOS COMBINADOS

5.1 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS

La Circunferencia de Mohr es una técnica usada en ingeniería y para representar graficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tenciones, adaptando los mismos a las características de una circuferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

CASO BIDIMENSIONAL

En dos dimensiones,la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

$\begin{cases} \mbox{medida 1} & (\sigma_x, \tau) \\ \mbox{medida 2} & (\sigma_y, -\tau) \end{cases}$

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal $\left( \sigma \right)$ y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial $\left( \tau \right)$ para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del círculo de Mohr:

$C:= (\sigma\ _\mbox{med},0) = \left(\frac {\sigma\ _x + \sigma\ _y} {2}, 0\right)$

Radio de la circunferencia de Mohr:

$r:= \sqrt{ \left ( \frac { \sigma\ _x - \sigma\ _y } { 2 } \right ) ^2 + \tau\ ^2_{xy} }$

Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

$\sigma_\mbox{max} = \sigma_\mbox{med} + r \qquad \sigma_\mbox{min} = \sigma_\mbox{med} - r$

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor de tensión que en este caso viene dado por:

$\mathbf{T}\vert_{x,y} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau \\ \tau & \sigma_y \end{bmatrix}$

CASO TRIDIMENCIONAL

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

$\mathbf{T}\vert_{x,y,z} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx}& \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix}$

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 circulos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

CIRCUFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

$C:= (I _{med},0) = \left (\frac {I_x + I_y} {2}, 0 \right)$

Radio de la circunferencia:

$r:= \sqrt{ \left( \frac {I _x - I _y}{2} \right)^2 + I ^2_{xy}}$

Information Upload by: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr